11.5 - Ecuación de Bernoulli

Hola y bienvenido al Proyecto Gustavo. Este es el Podcast Física 1.

Tema 11. Fluidos.

Apartado 5. Ecuación de Bernoulli.

La ecuación de continuidad que vimos en el apartado anterior nos describe bastante bien cómo un tubo de fluido aumenta o disminuye su velocidad cuando pasa por un estrechamiento o un ensanchamiento, pero no nos explica por qué lo hace.

¿Cuál es el mecanismo que permite que la velocidad cambie? Porque tú puedes ir al volante, llegas al peaje de la autopista y frenas, es una decisión tuya, pero las partículas no suelen hacer esas cosas.

Podríamos estudiarlo usando los métodos de la dinámica. Los pasos serían más o menos así, la presión implica una fuerza, la fuerza conlleva una aceleración y la aceleración nos da un cambio de velocidad. En este caso, sin embargo, es más sencillo verlo por energías, y eso es lo que vamos a hacer ahora.

Supongamos para empezar fluido incompresible, y por supuesto flujo laminar. Vamos a pasar el fluido por una tubería de sección variable y que puede tener la forma que queramos, por ejemplo cilíndrica, aunque eso no importa. En principio tendríamos que estudiar el movimiento de todo el fluido en su conjunto, pero podemos limitarnos a suponer que es como si una masa determinada de fluido de la zona 1 se trasladase hasta la zona 2 y todo el resto del fluido estuviese quieto. Es equivalente y mucho más fácil de hacer.

Como vamos a hacerlo por energías, vamos a cuantificar la energía mecánica cuando una masa m de fluido pasa de la zona 1 a la zona 2. La energía cinética es 1 medio de m por v cuadrado y la potencial es mg por i. Ya tenemos la energía mecánica, 1 medio de m por v cuadrado más m por g por i, pero cuidado que esto no es todo. Hay dos fuerzas adicionales que debemos tener en cuenta.

Digamos, por fijar conceptos, que el fluido se mueve de izquierda a derecha. A la izquierda de la masa de fluido 1 hay más fluido, que no lo vamos a estudiar, pero que está presionando hacia la derecha con una fuerza F1. Esa fuerza F1 empujará el fluido en el sentido de la marcha.

En el otro lado, a la derecha de la masa 2, también hay fluido, y ese va a impedir el movimiento del fluido, porque está ahí y hay que apartarlo. El resultado es una fuerza F2 en sentido contrario al del movimiento del fluido. Para que lo tengan más claro, es como cuando formamos parte de una muchedumbre que camina por un pasillo. La gente que tienes detrás tenderá a empujarte a poco que intentes pararte, y si quieres ir más rápido, los que están delante de ti van a frenarte.

Hemos de tener en cuenta eso en nuestra ecuación, la fuerza F1 que empuja el fluido por un lado, y la F2 que tiende a frenarlo por el lado opuesto. Si calculamos el trabajo hecho por ambas fuerzas en un intervalo de tiempo delta de t, podemos aplicar la ley de conservación de la energía e igualar la variación de la energía mecánica al trabajo hecho por esas dos fuerzas.

Fijémonos en dos detalles antes de seguir adelante. Detalle 1. Tanto F1 como F2 hacen un trabajo que tiene la forma de presión por volumen. Esto podemos verlo así. La masa de fluido 1 que consideramos es la que pasa por la sección A1 en un tiempo delta de t, y que ha recorrido una distancia delta de x1 igual a v1 por delta de t, donde esa v es velocidad, no volumen.

La masa que ha pasado por la zona 1 es la que ocupa un volumen igual a v1 igual a 1 por delta de x1. En cuanto al trabajo, es constante y paralelo al desplazamiento, así que se calcula fácilmente como F1 por delta de x1. Como la fuerza es igual al producto de la presión por la superficie, tenemos que trabajo igual a F1 por delta de x1 igual a P1 por A1 por delta de x1 igual a P1 por v1, ya que el volumen de v1 es igual a la sección por la longitud.

De igual modo, el trabajo hecho por la fuerza F2 será, en valor absoluto, igual a P2 por v2, v volumen. En química se usa mucho el producto P por v y puedes comprobar fácilmente que tiene dimensiones de energía, o lo que es lo mismo, de trabajo. Ahora el detalle 2. El trabajo hecho por la fuerza F1 tiene signo positivo, en tanto que la fuerza F2 contribuye con un trabajo negativo.

Eso se debe a que la fuerza F1 tiende a mover el fluido y por tanto aumenta su energía, pero F2 hace justo lo contrario, se opone al movimiento, y por eso su contribución es negativa. Recuerda,