12.2 - Energía en el movimiento armónio simple

Hola y bienvenido al Proyecto Gustavo, este es el Podcast Física 1.

TEMA 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO APARTADO 2 ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Estudiar el movimiento armónico simple desde el punto de vista de energía es más sencillo que hacerlo mediante fuerzas, ya que como hemos visto, esas fuerzas que aparecen no son constantes.

Por lo general tenemos una situación en que la fuerza recuperadora es conservativa, lo que implica la existencia de una función energía potencial. Eso significa que podemos considerar el movimiento armónico simple como un conjunto de cambios de energía cinética a energía potencial y viceversa. Vamos a ver cuál es la energía mecánica de un sistema, suma de cinética y potencial, en el movimiento armónico simple. Vas a ver lo sencillo que resulta, este apartado va a ser de los más cortos.

Como antes, tomaremos el ejemplo del muelle, que ya lo conocemos. ¿Recuerdas al principio del podcast cuando te dije que la física no es una serie de compartimentos estancos? Algunos alumnos piensan que después de aprenderse un tema pueden dejarlo atrás, pero eso no es buena idea. Las partes de la física están interconectadas y este es un buen ejemplo de ello. ¿Por qué? Pues porque para saber la energía potencial de un muelle hay que recordar lo que vimos en trabajo y energía.

No voy a repetirlo, sino que me limitaré a recordarte que, según vimos en el tema 6, la energía potencial de un muelle es u igual a 1 medio de k por x cuadrado. En el apartado anterior vimos que el movimiento del muelle tiene una solución del tipo x igual a A por coseno de omega t más phi. Sustituyendo, nos sale que la energía potencial es u igual a 1 medio de k por a cuadrado por coseno cuadrado de omega t más phi.

Esa parte, lista. Ahora vamos a la energía cinética, ese 1 medio de m por v cuadrado de siempre. Si derivamos x con relación al tiempo, nos sale que la velocidad es v igual a menos A por omega por seno. De modo que la energía cinética será igual a 1 medio de m por a cuadrado por omega cuadrado por seno cuadrado.

Como vimos en su momento, la frecuencia angular omega era igual a raíz de k partido por m, así que vamos a sustituir y tenemos 1 medio de k por a cuadrado por seno cuadrado.

Como podemos ver, la energía cinética es proporcional al seno al cuadrado, y la energía potencial depende del coseno al cuadrado. Siempre es seno o coseno de omega t más phi, no lo repito para no hacerme pesado. En el punto de equilibrio, la energía potencial es cero y la energía cinética es máxima. Conforme el cuerpo se aleja del equilibrio, aumenta su energía potencial a expensa de su energía cinética. Y en el extremo, toda la energía mecánica es de tipo potencial. Si la sumamos, fíjate lo que sale. La energía cinética y la potencial son 1 medio de k por a cuadrado por el coseno cuadrado o el seno cuadrado.

Sumamos ambas energías, sacamos factor común y nos queda que la energía mecánica es 1 medio de k por a cuadrado por paréntesis coseno cuadrado más seno cuadrado, cierro paréntesis. Pero para cualquier ángulo se cumple que seno cuadrado más coseno cuadrado es igual a 1, de modo que nos sale que en cualquier punto de su movimiento la energía mecánica es igual a 1 medio de k por a cuadrado.

Esto vale para el muelle, no para otros casos, porque tenemos la constante recuperadora k típica de un muelle, pero podemos generalizar la ecuación a otros casos si sustituimos k por su valor, que es igual a m por omega cuadrado. De ese modo, la energía mecánica es igual a 1 medio de m por omega cuadrado por a cuadrado. Esa es una ecuación general para todo movimiento armónico simple, no vale solo para el muelle.

Como este apartado es corto, voy a aprovechar para disipar una duda que quizá tengas. Dije en el apartado anterior que nuestra solución para la posición es x igual a por coseno de omega t más fi y también te dije que tomar la solución seno era igualmente válido. Pues si no te lo crees, vamos a verlo en un momento.

Supongamos que nuestra solución es x igual a a por seno de omega t más fi. Derivando con relación al tiempo, tenemos que la velocidad es igual a a por omega por coseno de omega t más fi. Derivando de nuevo, sale una aceleración a igual a menos a por omega cuadrado por seno de omega t más fi. Como puedes comprobar, la aceleración es nuevamente igual a menos la posición por el término.