3.2 - Nociones de Álgebra vectorial

Hola y bienvenido al Proyecto Gustavo. Este es el Podcast Física 1.

Tema 3. Cinemática en tres dimensiones. Apartado 2. Nociones de álgebra vectorial.

Una de las carencias que he notado en mis alumnos cuando estoy en mi aula de la Universidad de Granada es la relativa a conocimiento de álgebra vectorial. No hace falta saberlo todo, pero como mínimo sería conveniente saber cómo se opera con vectores, ya que los vamos a usar mucho. Son una de las herramientas más eficaces en física.

Este no es un curso de matemáticas, como ya te dije en alguna otra ocasión, así que no vamos a estudiar álgebra vectorial de forma sistemática.

Eso es lo que digo en clase habitualmente, y eso es lo que dije en la primera versión de este podcast. En ambos casos creía hacer lo correcto. El problema es que así no resolvemos nada. Es como ponerse a hacer chapuzas en casa. Si no sabes cómo taladrar la pared, no podrás colgar un cuadro. Así que hay que aprender.

Por supuesto, sería mejor saber usar un taladro en todo tipo de situaciones, y aún mejor ser un obrero cualificado, pero con saber cómo colgar el cuadro nos vale.

Por eso voy a dar un salto al vacío y voy a intentar enseñarte algunos rudimentos de álgebra vectorial, esencialmente las operaciones principales y cómo se trabaja con ellas.

No vamos a entrar en profundidades, y de hecho te recomiendo que busques información adicional por internet que está llena de textos y vídeos muy bien hechos.

El siguiente apartado estará dividido en dos partes. En la primera indicaré cuáles son las propiedades de suma y producto de un vector. Te comenté en el episodio anterior que esas propiedades existen pero no las indiqué. Eso es lo que voy a hacer en primer lugar.

En la segunda parte profundizaré un poco usando las coordenadas cartesianas. Te recomiendo que atiendas al menos a la primera parte, y si aguantas hasta el final, mucho mejor, aunque entiendo que aprender matemáticas por podcast puede ser bastante difícil, así que ve a tu propio ritmo. Comenzamos.

Cuando introduje el concepto de vectores, te dije que eran un conjunto de bichos, así los llamé, que cumplían ciertas propiedades. Seguro que los matemáticos se pusieron de uñas cuando lo dije, así que me disculpo con ellos. No os molestéis amigos matemáticos, y vamos a ver qué es un vector. Nosotros siempre asociamos esa palabra con la flecha que dibujamos en el papel. Eso está bien para retener conceptos sin perder el norte, pero un vector es algo más que eso. En matemáticas lo que se hace es definir un espacio vectorial.

Con eso se quiere indicar un conjunto de elementos que cumplen ciertas propiedades, no es un espacio de los de las películas de ciencia ficción. Los matemáticos lo llaman una estructura algebraica, que suena más impresionante. Sea como sea, lo primero que necesitamos son dos cosas. Lo primero es un cuerpo. Esa es la forma en que los matemáticos llaman a un conjunto de números como los racionales, los reales y los complejos. Aquí vamos a tomar el cuerpo de los números reales, de forma que cuando yo diga eso de multiplicado por un número, o por un escalar, ya sabes que es un número real. En segundo lugar, hemos de definir dos operaciones.

Los matemáticos las llaman operación interna y operación externa. Para nosotros la operación interna será la suma de vectores, y la operación externa será el producto de un escalar por un vector. Ahora no vamos a definir esas operaciones, no te voy a explicar cómo se suman o multiplican vectores, eso lo dejamos para más adelante. Lo importante es que suponemos que esas operaciones están bien definidas y ya está. Con eso podemos definir un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales como aquel conjunto de elementos, de cosas, de bichos, de lo que sea, que cumplen con las siguientes propiedades.

Primero, la operación interna, lo que llamamos suma. Esto te va a sonar de cuando viste los números, recuerdas que nos hablaban de la propiedad conmutativa, la asociativa y todo eso? Pues aquí también lo vamos a aplicar. Si A, B y C son vectores, entonces la suma tiene que tener las siguientes propiedades. Conmutativa, A más B igual a B más A. Ya sabes, eso de que el orden de los factores no altera el resultado. Asociativa, si sumamos B más C y luego le sumamos A, sale lo mismo que si sumamos A más B y luego le sumamos C.

Elemento neutro, existe y si se lo sumas al vector A vuelves a tener el vector A. Es como el cero pero en vector. Elemento opuesto, todo vector A tiene un opuesto B tal que cuando sumas A y B te sale el elemento neutro. Luego la operación interna, que para nosotros será el producto de un vector por un escalar. Si A y B son escalares y X e Y son vectores, las propiedades que tiene que cumplir el producto son.

Asociativa, si multiplicas el vector por el escalar A y luego por el escalar B, sale lo mismo que si lo multiplicas por el escalar A por B. Distributiva respecto a la suma vectorial, si sumas los vectores X más Y y luego multiplicas por el escalar A, sale lo mismo que si multiplicas A por X y luego lo sumas al producto A por Y. Distributiva respecto de la suma escalar, Parecido al anterior, si multiplicas A por X, luego B por X...