5.3 - Movimiento circular

Hola y bienvenido al Proyecto Gustavo. Este es el Podcast Física 1.

Tema 5. Dinámica 2. Aplicación de las leyes de Newton.

Apartado 3. Movimiento circular.

El movimiento en una trayectoria circular es difícil de estudiar en el sistema de coordenadas cartesiano habitual porque las componentes de la aceleración no son constantes, pero sí podemos hacer un estudio sencillo cuando el módulo de la aceleración es constante.

Es lo que vamos a hacer ahora, estudiar la llamada aceleración centrípeta.

Para hacerlo usaremos triángulos semejantes y aprovechando que el pisuerga pasa por Valladolid, vamos a introducir una nueva unidad angular que se usa mucho en ciencia, el radian.

Le sacaremos provecho sobre todo cuando lleguemos a los temas de rotación, pero es bueno ir viéndola ya, así te familiarizarás con ella.

La idea es la siguiente. Imaginemos que tenemos un arco de circunferencia de longitud L.

Es fácil ver que ese arco es proporcional al radio. Cuanto mayor sea el radio, mayor será la longitud del arco. También será proporcional al ángulo de ese arco, llamémosle theta. Así que podemos poner L como el producto de ambos multiplicado por una constante adimensional, L igual constante por r por theta.

Dependiendo de qué unidades usemos para el ángulo, así valdrá esa constante.

Pues vamos a definir el radian como el ángulo para el cual esa relación tiene una constante C igual a 1. Así, L es igual a r por theta cuando el ángulo lo damos en radianes.

Para relacionar el radian con el grado sesagésimal de siempre, tomamos una circunferencia completa. Tenemos que L es igual a r por theta, y sabemos que la longitud de la circunferencia es L igual a 2 pi r.

Así que, igualando ambas cantidades, tenemos que theta igual 2 pi radianes.

Y como una vuelta completa son 360 grados, resulta que 2 pi radianes igual 360 grados.

Con lo que un radian es 360 entre 2 pi grados, o 180 entre pi, que son unos 57 grados y pico.

El radian se usa mucho en física, así que, aunque voy a hablar en ocasiones de ángulos de tantos o cuantos grados, cuando aparecen ángulos en una ecuación debemos entender que van en radianes. Los vamos a usar mucho cuando lleguemos al estudio de la rotación.

Ahora es cuando voy a ponerme a sudar frente al micrófono, porque esto es muy fácil de ver haciendo un dibujito en la pizarra, pero eso de describirlo va a ser más elaborado.

Bueno, lo voy a intentar de todos modos. Va a sonar más complicado de lo que realmente es, así que no te asustes. Supongamos que tenemos un cuerpo girando en una circunferencia de radio r. Supongamos también que el módulo de la velocidad es constante, y, para mayor comodidad, vamos a poner el origen de coordenadas en el centro de la circunferencia. En un intervalo de tiempo delta de t, el cuerpo habrá realizado un desplazamiento delta de L. Ojo, no es que haya recorrido una distancia total delta de L, sino que la diferencia entre la posición inicial y la final es delta de L.

Estamos ahora hablando de la cuerda, no del arco. Durante ese tiempo delta de t, el vector que va del origen al cuerpo habrá girado un ángulo theta. Como la dirección de v ha cambiado, tenemos por definición una aceleración. Vamos a ver cuánto vale esa aceleración.

Para ello, el primer paso será tomar los dos vectores velocidad, los que había al principio y al final del intervalo de tiempo delta de t, y a ponerlos aparte. Con esos dos vectores, y el vector delta de v, formamos un triángulo. A continuación recuerda lo que te dije en el tema de cinemática en tres dimensiones, eso de que la velocidad nos indica la dirección en la que va a moverse el cuerpo.

Esa dirección es la tangente a la circunferencia, y resulta que para una circunferencia la tangente es perpendicular al radio. Eso significa que los vectores r y v son perpendiculares en este movimiento, y como consecuencia, resulta que el ángulo que forman los dos vectores v es el mismo que el que forman los dos vectores r, es decir, theta.

Y ahora tenemos que ir a algo que ya viste y creíste dejar atrás, eso de las semejanzas de triángulos. Seguro que en su momento te preguntaste para qué servía todo eso. Pues aquí tienes una aplicación práctica. No te preocupes, no vamos a ponernos a recordar todo el asunto de la semejanza de triángulos, solamente usaremos una propiedad que decía, si dos triángulos tienen dos de sus lados iguales y el ángulo entre ambos es el mismo, entonces son triángulos semejantes.

Todos sus lados son proporcionales y sus ángulos son iguales. Este es nuestro caso. Tenemos dos triángulos, el que forman los vectores r, r y delta de L y el que forman v, v y delta de v. Con r, r me refiero al vector r al principio del movimiento y al vector r al final del movimiento, con los v igual. Ambos triángulos tienen dos lados iguales y un ángulo también igual, así que son semejantes. Y de aquí salimos.