6.A – Emmy Noether, la dama de la simetría

Hola y bienvenido al Proyecto Gustavo. Este es el Podcast Física 1.

Tema 6. Trabajo y energía.

Emmy Noether, la dama de la simetría. En el tema de trabajo y energía, comenté algo sobre el teorema de Noether, N-O-E-T-H-E-R. Se trata de un resultado que me parece sorprendente, y añadí que ojalá pudiese hablar más en profundidad sobre el tema, pues el espíritu de Richard Feynman se me ha aparecido en sueños y me ha dicho Arturo, ya estás tardando, así que aquí estoy.

Voy a intentar simplificar las cosas lo más posible. Me va a resultar difícil, porque algunos de los conceptos que voy a presentar a continuación nunca los he visto, y otros solamente los vi en clase cuando era alumno y nunca volví a ellos, así que voy a tener que reciclarme rápidamente. No me importa, creo que para poder enseñar, primero hay que aprender bien las cosas.

El teorema de Noether, explicado sucintamente, indica que si un sistema tiene una propiedad de simetría continua, hay ciertas cantidades que se conservan con el tiempo. Para cada simetría, dice, hay una ley de conservación. Resulta difícil imaginar siquiera que dos conceptos tan aparentemente lejanos como la simetría y la conservación tengan una ligazón, pero la tienen. Lo primero de todo, ¿qué es eso de la simetría? Para entendernos, una simetría es una transformación que le hacemos a un sistema y que lo deja invariado.

Si hacemos girar una esfera alrededor de un radio, tenemos la misma esfera. Si giramos un cuadrado 90 grados, tenemos el mismo cuadrado. Si tomamos una manzana y dejamos pasar media hora, tenemos la misma manzana. En definitiva, simetría es cuando cierro los ojos, alguien hace algo al sistema, y cuando yo vuelvo a abrir los ojos no veo ningún cambio. Hay muchos tipos de simetría, por supuesto, pero basta con entender el concepto. En segundo lugar, necesitamos herramientas matemáticas para jugar con las simetrías.

Para ello voy a introducir un concepto nuevo. En física clásica comenzamos usando las leyes de Newton, sobre todo la segunda, para resolver problemas. Veamos que fuerzas actúan sobre un sistema, lo hacemos igual al producto de masa por aceleración, y a partir de ahí hallamos velocidades, posiciones, lo que haga falta. Eso no está mal, pero resulta difícil de hacer en algunos casos, y a la larga se nos queda algo limitado. Es preciso ir más allá. Para avanzar, los físicos y los matemáticos idearon diversos métodos.

El que voy a describir ahora se llama método Lagrangiano, o de mecánica lagrangiana. En ella, el concepto central no es la fuerza, sino la energía, y de modo similar a su momento, a partir de la segunda ley de Newton, nos sacábamos de la manga conceptos como el del trabajo, aquí vamos a hacer lo propio. Usaremos algo conocido con el nombre de acción. Imagínate que el cuerpo comienza el movimiento en un tiempo t1 y lo termina en un tiempo posterior t2. En cada instante de tiempo tendrá un valor de la energía cinética y otro de la energía potencial.

Bien, pues la acción es la integral entre t1 y t2 de la diferencia entre la energía cinética y la potencial. En general, a la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial se le llama función lagrangiana, o simplemente lagrangiano. En el caso de una pelota que cae en el suelo, el lagrangiano sería 1 medio de m por v cuadrado menos mg por h. En otros tendrá una representación distinta, pero siempre tendremos la acción definida como la integral temporal del lagrangiano.

No es este el sitio para desarrollar la mecánica lagrangiana, ni mucho menos para demostrar sus postulados. Así que me voy a limitar a tomar los resultados que me interesan, mostrártelos y añadir eso de se puede demostrar, que siempre queda muy bien cuando los profes consideramos conveniente no tirarnos a la piscina, que a veces el agua cubre y los alumnos se nos ahogan.

Vamos con los resultados. Recordemos que la acción es la integral de lo que hemos llamado lagrangiano. Bien, fíjate en una cosa. He dicho que la partícula se mueve entre los tiempos t1 y t2, y por supuesto entre las posiciones inicial y final r1 y r2, pero no dije nada sobre el camino que sigue el cuerpo.

En principio existirá una acción distinta para cada posible camino que tome la partícula. Se mueve en línea recta, la acción tiene un valor. En un arco de circunferencia, otro valor. En una parábola, otro valor. Si hay muchos caminos posibles, eso quiere decir que hay muchos valores posibles de la acción, pero al final la partícula sigue un camino solamente.

¿Cuál es ese camino? Pues aquí comienza la magia del lagrangiano. Hay un resultado llamado principio de mínima acción. A veces se llama principio de mínima acción.