7.1 - Centro de masas

Hola y bienvenido al Proyecto Gustavo. Este es el Podcast Física 1.

Tema 7. Sistemas de partículas. Apartado 1. Dentro de masas.

Después de una pausa para entender los conceptos de trabajo y energía, volvemos a la mecánica newtoniana. Esa es la que usamos fuerzas, aceleraciones y dependencias con el tiempo. Hasta ahora hemos estudiado el movimiento de cuerpos que podíamos considerar como objetos puntuales, que no giran, vibran ni nada parecido.

En algún caso hemos estudiado el movimiento de dos cuerpos a la vez, pero también los tratábamos como masas puntuales. Ahora vamos a sistematizar el estudio del movimiento para varias partículas. Vamos a suponer que tenemos N partículas, cada una de ellas con masa m sub i y vector de posición r sub i.

En principio podemos aplicar la segunda ley de newton a cada una de ellas, suma de fuerzas sobre la partícula i igual a m sub i por a sub i. Pero cuando yo digo en principio, lo que quiero decir es, yo no enviaría allí ni a mi peor enemigo. ¿Por qué digo eso? Pues porque en sistemas con N grande, esa forma de trabajar se hace inviable. Necesitamos usar N ecuaciones vectoriales, lo que nos da 3N ecuaciones escalares en el espacio tridimensional. Luego tenemos que conocer las N velocidades y posiciones iniciales, y del orden de N cuadrado posibles fuerzas.

Y lo de N cuadrado es por las fuerzas internas entre partículas, que a menudo ni siquiera conocemos. Demasiado jaleo, así que vamos a simplificar. En lugar de fijarnos en lo que hace cada partícula, vamos a escoger un punto que sea representativo del sistema de partículas, una especie de delegado de clase. Ese punto podría ser, por ejemplo, el centro geométrico del sistema, pero eso en la práctica no resulta cómodo. El motivo es que esa definición otorgaría igual relevancia a todas las partículas, y resulta que la naturaleza no es una democracia.

Más bien podemos asemejarla a una empresa, donde los accionistas tienen más o menos poder según cuántas acciones tengan. Tanto tienes, tanto vales. Siempre ha sido así, y en el universo eso se representa por la masa. Es una medida de la inercia, de la pereza a moverse, así que cada masa va a reaccionar de forma distinta frente a una fuerza. Por tanto, tenemos que buscar un punto representativo usando alguna relación que incluya la masa de las partículas. La forma más útil es una media, pero que no sea la típica media aritmética simple, sino un promedio pesado, es decir, ponderado por la masa.

Esto significa lo siguiente, multiplicamos cada masa por su posición, lo sumamos todo, y el resultado se divide por la masa total. Matemáticamente lo escribimos como m1 por r1 más m2 por r2, así hasta mn por rn, y todo dividido por la suma de las masas. Esa relación nos da la posición vectorial del punto llamado centro de masas, o centro de masa. Ese punto depende de todas las partículas, pero dando mayor relevancia a las partículas más masivas, las que más votan.

La definición vectorial del centro de masa nos da tres ecuaciones para las tres componentes. La componente x del centro de masas será igual a m1 por x1 más m2 por x2 más mn por xn, dividido por la masa total. En los ejes y y z, tres cuartos de lo mismo. Esto suponiendo que tenemos n partículas. Si consideramos un cuerpo extenso, que no podemos suponer compuestos de partículas concretas, también se puede definir el centro de masas, pero usando una integral en lugar de una sumatoria finita.

Sea cual sea el caso, la ecuación vectorial para el centro de masas nos da, como dije, tres ecuaciones escalares, una para el eje x, otra para el eje y, y otra para el eje z. Es importante dejar claro algunos detalles con relación al centro de masas. En primer lugar, como he dicho antes, el centro de masas no es el centro geométrico, y no va a coincidir con el centro geométrico, salvo que todas las partículas tengan la misma masa o por pura casualidad.

En segundo lugar, no tiene por qué coincidir con la posición de ninguna partícula en concreto.

Es solo un punto en el espacio, un lugar donde marcamos una cruz con un rotulador imaginario.

En tercer lugar, puede perfectamente estar fuera del sistema de partículas. Una rosquilla tiene el centro de masas en el centro geométrico, que en este caso está fuera del objeto.

¿Para qué sirve el centro de masas?