7.2 - Movimiento del centro de masas

Hola y bienvenido al Proyecto Gustavo. Este es el Podcast Física 1.

Tema 7. Sistemas de partículas.

Apartado 2. Movimiento del centro de masas.

Aunque el centro de masas no es una partícula real, es un punto en el espacio que podemos definir. Y si ese punto se mueve, podemos estudiar su movimiento. Es decir, podemos estudiar la cinemática del centro de masas. Esto puede sonarte algo raro, porque hasta ahora todo lo que se movía tenía masa. Nos hemos pasado todo este tiempo viendo el movimiento de tal o cual partícula, pero ahora aparece algo que no es una partícula, no tiene masa, no puedes aplicarle una fuerza. Pues vale, pero aún así podemos estudiar su movimiento.

Comencemos por la cinemática. Partiremos de la definición del centro de masas, eso de posición igual a sumatoria de m sub i por r sub i dividido por la masa del sistema.

Si esa posición cambia con el tiempo, es porque ha cambiado la posición de alguna de las partículas del sistema. Y recuerda lo que hicimos para ver cómo se movía una partícula. Exacto, inventábamos un concepto llamado velocidad media. Luego hacíamos el paso al límite, lo que matemáticamente corresponde con una derivada, y obteníamos la velocidad instantánea.

Aquí vamos a hacer algo similar, y para mayor comodidad vamos a saltarnos el paso intermedio, ese de la velocidad media. Tomamos la definición para la posición del centro de masas y la derivamos con relación al tiempo. A la izquierda de la ecuación tenemos derivada de r sub cm con relación al tiempo, y eso no es más que la velocidad del centro de masas.

¿Y a la derecha? Pues si suponemos que la masa de cada partícula es constante, aplicamos las reglas de derivación. Al final obtenemos la siguiente ecuación, velocidad del centro de masas v sub cm igual a la suma m sub 1 por v sub 1 más m sub 2 por v sub 2 más m sub n v sub n, dividido todo por la masa total del sistema. De esa forma podemos hallar la velocidad del centro de masas a partir de las velocidades de las partículas.

Y resulta además que la ecuación tiene la misma forma que la de la posición del centro de masas, una suma ponderada por la masa de cada partícula. ¿Nos atrevemos a seguir adelante? Pues claro que nos atrevemos. Y nuevamente nos saltamos el proceso de definir cantidades promedio. Nada personal pero no veo motivo para entretenernos ahí. Saltamos directamente a la derivación para obtener la variación temporal de la velocidad, lo que llamábamos aceleración.

Al hacerlo, obtenemos la aceleración del centro de masas. Nos sale que es igual a la suma de los m sub i por a sub i dividida por m, la masa total. Y así es como obtenemos la aceleración del centro de masas a partir de las aceleraciones de las partículas. Ahora viene lo interesante, la dinámica. Vamos a introducir fuerzas, a ver qué pasa.

La gran diferencia sobre el caso de una sola partícula es que ahora el centro de masas no contiene nada y por tanto no podemos empujarlo directamente. No hay fuerzas actuando sobre el centro de masas. En ese caso, ¿cómo cambiamos el estado de movimiento del centro de masas? Pues de forma indirecta. Podemos aplicar una fuerza sobre alguna de las partículas del sistema. La segunda ley de Newton sigue siendo válida para cada partícula.

Escojamos una cualquiera, la partícula i. Su dinámica vendrá dada por la relación suma de fuerzas sobre la partícula i igual a masa m sub i por aceleración a sub i. Cada partícula nos dará una ecuación de ese tipo. Algunas partículas no tendrán fuerzas aplicadas sobre ellas así que su ecuación será del tipo 0 igual a 0, pero da igual, también nos vale. A continuación sumamos esas ecuaciones para todas las partículas.

El resultado será sumatoria de todas las fuerzas igual a sumatoria de m sub i por a sub i. Y resulta que por la definición que hicimos del centro de masas, esa suma de m sub i por a sub i es igual a la masa total por la aceleración del centro de masas. Así que tenemos sumatoria de fuerzas igual a la masa del sistema por la aceleración del centro de masas.

Esto en principio nos permite saber cómo se mueve el centro de masas. Uy, cuidado, he dicho en principio. Y ya sabéis que eso significa que por ahí no vamos bien. ¿Por qué? Pues porque esa sumatoria de fuerzas incluye no solo las fuerzas externas al sistema, sino las fuerzas internas entre una partícula y otra. Si hay N partículas tendremos del orden de N cuadrados fuerzas internas. Bueno, vale, N cuadrados.