7.4 - Energía cinética de un sistema de partículas

Hola y bienvenido al Proyecto Gustavo. Este es el Podcast Física 1.

Tema 7. Sistemas de partículas.

Apartado 4. Energía cinética de un sistema de partículas.

Como hemos visto, cuando no hay fuerzas externas a un sistema, o cuando sí las hay pero suman cero, el momento lineal del sistema es constante. Pero eso no significa que la energía mecánica se conserve. Puede haber fuerzas internas que disipen energía y eso afectará al balance energético.

Vamos a hacer lo siguiente. Tomaremos la energía cinética total y la dividiremos en dos partes.

Una de ellas estará relacionada con la energía del movimiento del centro de masas y la otra será la relacionada con el movimiento de las partículas respecto al centro de masas.

El proceso es un poquito elaborado, y es de esos que si me pongo a describir las ecuaciones, todo eso de sumatoria de m sub i por v sub i, etc., puedo sonar más pesado que un bocata de polvorones. Pero a pesar de eso, voy a intentarlo. Subiré el nivel de complejidad un par de puntos. Que nadie se vaya. En primer lugar, voy a escribir la energía cinética de forma algo diferente. Siempre hemos puesto como un medio de m por v cuadrado. Bien, en vez de ese v cuadrado, voy a poner lo siguiente. Producto escalar de v por v.

Es una forma un poco rebuscada de hacerlo, pero es válida, ya que el producto escalar de un vector por sí mismo es simplemente su módulo cuadrado. Así que ahora, cuando aparezca la partícula ahí, vamos a dar su energía cinética como un medio de m por v sub i por v sub i. Producto escalar, ojo. En segundo lugar, vamos a introducir un segundo sistema de referencia, el que va ligado al centro de masas. Sí, en lugar de sentarnos a mirar en nuestro sistema de laboratorio, tomamos la silla y la ponemos encima del centro de masas. Todo lo que midamos sentados en esa silla serán velocidades en el sistema de referencia de centro de masas.

Vamos a indicar con u sub i la velocidad en el sistema de centro de masas, y la v sub i será, como de costumbre, la velocidad que antes medíamos en el sistema de referencia de laboratorio.

Tercer paso, nos sentamos en la silla. Eso significa que ahora lo vamos a poner todo en términos de las u sub i, la velocidad de las partículas en el sistema de centro de masas. El cambio es fácil, la velocidad de un objeto en el sistema de laboratorio es igual a su velocidad en el sistema de centro de masas más la velocidad del sistema centro de masas respecto al sistema de laboratorio.

O dicho de modo más sencillo, v sub i igual a u sub i más v sub c m, donde v sub c m es la velocidad de centro de masas. Todo en forma vectorial, por favor. Con ese cambio de variable, la energía cinética de la partícula i, ese 1 medio de m por v sub i cuadrado que teníamos antes, ahora se nos queda como 1 medio por m sub i por u sub i más v sub c m por u sub i más v sub c m.

Seguro que te estarás preguntando, pero a ver profe, ¿qué ganamos con todo este lío? Ya verás. Si sumamos la energía cinética de todas las partículas con las transformaciones anteriores de v sub i igual a u sub i más v sub c m y todo eso, obtenemos un resultado que es una suma de 3 términos. El tercer término es algo del tipo sumatoria de m sub i por u sub i y luego multiplicado por v sub c m.

Bien, pues resulta que esa sumatoria de términos m sub i por u sub i es 0. ¿Por qué? Porque esa suma es igual, por definición, al momento lineal total en el sistema de referencia del centro de masas. Y eso es igual a m la masa total multiplicada por u grande sub c m, que es la velocidad del centro de masas respecto al centro de masas. ¿Pero qué velocidad tiene un punto respecto a sí mismo? Pues 0.

Total, que ese tercer término desaparece. Y nos queda que la energía cinética total la podemos expresar como suma de dos términos. El primero es simplemente el producto 1 medio de m por v sub c m cuadrado. Eso es la energía cinética que tendría el sistema si estuviesen todas las partículas en el centro de masas.

El segundo término, algo del tipo 1 medio por sumatoria de m sub i por u sub i cuadrado, proviene de que las partículas se mueven respecto al centro de masas. Tenemos así un término de energía cinética de traslación y otro de energía cinética de rotación. Si has entendido todo el razonamiento, enhorabuena campeona o campeón. Pero por si no has entendido nada, tanto v sub i y u sub i y centro de masas por aquí, te lo recomiendo.