9.5 - Precesión

Hola y bienvenido al Proyecto Gustavo, este es el Podcast Física 1.

Tema 9. Conservación del momento angular.

Apartado 5. Precesión.

Vamos a ver ahora un ejemplo de movimiento de rotación cuya resolución pasa necesariamente por tomar vectores, de otro modo no podría explicarse. Básicamente va a ser un sistema parecido al giróscopo que mencioné en el apartado anterior, pero donde ahora el sistema si estará sometido a un momento de fuerza externo.

Antes de nada vamos a escoger los ejes de nuestro sistema de coordenadas. Como de costumbre el eje X es el horizontal, positivo hacia la derecha, el eje Y el vertical, positivo hacia arriba y el eje Z es el de profundidad, positivo si es entrante, es decir si entra en el papel o en la pizarra. Nuestro sistema físico será un pilar o una mesa o lo que sea en cuyo borde vamos a poner una varilla horizontal de masa despreciable a lo largo del eje X positivo. El punto donde la mesa sostiene la varilla será nuestro origen de coordenadas, también será el origen de momentos.

En el otro extremo de la varilla, a una distancia D, ponemos un disco vertical de masa M que gira en torno a dicha varilla. Bueno, en realidad puede ser un disco u otro objeto, lo importante es que puede girar en torno al eje de la varilla. ¿No tienes visualizado? Pues vamos a empezar.

En primer lugar vamos a ver que le pasa al objeto, es decir la varilla con el disco cuando partimos del reposo. Lo hemos visto con muchos objetos, si sobresale mucho, la varilla va a girar en torno al eje Z, caerá al suelo y listo. Estamos tan acostumbrados que nos parece algo natural y simple. Bien, pues vamos a verlo con las herramientas de la mecánica.

La fuerza peso que ejerce la gravedad de la tierra sobre el disco producirá un vector momento de fuerza con dirección y sentido en el eje Z positivo, de módulo igual a M por G por D. Ese momento de fuerza va a provocar una variación en el momento angular. Vamos a usar la relación tau, el momento de fuerza, igual a derivada del momento angular L con relación al tiempo. Si dejamos pasar un intervalo infinitesimal de tiempo, diferencial de T, la variación en el vector momento angular será igual a diferencial de L igual tau por diferencial de T, también en dirección del eje Z positivo.

Y como el momento angular inicial era 0, el momento angular final será ese tau por diferencial de T. Eso nos da el nuevo vector momento angular que apunta también en la dirección del eje Z positivo. Como teníamos L igual a Y por omega, despejamos y nos sale una velocidad angular omega igual al momento angular dividido por el momento de inercia. Repito de nuevo, L igual a Y por omega, por lo tanto omega igual a L partido por Y.

Ahora mira lateralmente, a lo largo del plano XY, de modo que si saliesen rayos de tus ojos tendrían la dirección del eje Z y sentido positivo. Lo que ves es que todos esos vectores son entrantes al plano, el momento de fuerza tau, el momento angular L y finalmente la velocidad angular omega. Usamos la regla de la mano derecha, ponemos esa mano de forma que al cerrarla el pulgar apunte hacia el eje Z positivo. ¿Qué sale? Pues que el cuerpo, la varilla con el disco al extremo, gira igual que lo hace la mano, a lo largo del plano XY en el sentido de las agujas del reloj.

En resumen, si miramos lateralmente vemos que la varilla gira en sentido horario y cae al suelo, justo lo que esperábamos que hiciera. La verdad, no necesitábamos tanto jaleo para saber que la varilla y el disco iban a caer al suelo, y si crees que estamos matando moscas a cañonazos, tienes razón. Pero ahora viene lo interesante, hasta ahora el disco que hay al extremo de la varilla no ha participado para nada en el movimiento, podría ser un disco, un cubo, un peluche de la rana Gustavo, da igual, solo nos importaba que era un objeto con masa M. Pero ahora la cosa va a cambiar. Vamos a ver qué pasa cuando el disco está girando desde el instante inicial. Parece que la situación será más o menos igual, salvo porque el disco tiene una velocidad angular distinta de 0. Pues no, eso de estar girando en el instante inicial lo cambia todo.

Volvamos al principio. Teníamos un momento de fuerzas en la dirección del eje z positivo, con valor M por g por h, igual que antes. El vector diferencial de L igual a tau por diferencial de t también lo cambia.